Question

（本題滿分14分）

已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱．

（1）試用含的代數(shù)式表示函數(shù)的解析式，并指出它的定義域；

（2）數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，．?dāng)?shù)列中，，．點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，求的值；

（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線，則在ｙ軸上的截距為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

Answer 1

，；；

解析:

解：（1）由題可知：與函數(shù)互為反函數(shù)，所以，

，   …………………………2分

（2）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖像上，所以，    (*)

在上式中令可得：，又因?yàn)椋?img width=41 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/89/209289.gif" hspace=12>，，代入可解得：．所以，，(*)式可化為： ①……6分

（3）直線的方程為：，，

在其中令，得，又因?yàn)?img width=15 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/95/209295.gif" hspace=12>在ｙ軸上的截距為，所以，

=，結(jié)合①式可得：            ②

由①可知：當(dāng)自然數(shù)時(shí)，，，

兩式作差得：．

結(jié)合②式得：         ③

在③中，令，結(jié)合，可解得：，

又因?yàn)椋寒?dāng)時(shí)，，所以，舍去，得．

同上，在③中，依次令，可解得：，．

猜想：．下用數(shù)學(xué)歸納法證明．        …………………………10分

（1）時(shí)，由已知條件及上述求解過(guò)程知顯然成立．

（2）假設(shè)時(shí)命題成立，即，則由③式可得：

把代入上式并解方程得：

由于，所以，，所以，

符合題意，應(yīng)舍去，故只有．

所以，時(shí)命題也成立．

綜上可知：數(shù)列的通項(xiàng)公式為    …………………………14分