Question

已知ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點(diǎn)O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB， △OAC， △ODE， △ODF都是正三角形.
（Ⅰ）證明直線BC∥EF;
（Ⅱ）求棱錐F-OBED的體積.

Answer 1

（Ⅰ）（方法一）證明：設(shè)G是線段DA與線段EB延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，
由于△OAB與△ODE都是正三角形，所以O(shè)B∥,OB=,OG=OD=2
同理，設(shè)G′是線段DA與線段FC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，有OG′=OD=2，
又由于G和G′都在線段DA的延長(zhǎng)線上，所以G與G′重合。
在△GED和△GFD中，由OB∥,OB=和OC∥, OC=,
可知B,C分別是GE和GF的中點(diǎn)，
所以BC是△GEF的中位線，
故BC∥EF.

（方法二）過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AD,交AD于點(diǎn)Q，連QE，
由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED,
以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正向，為y軸正向，為z軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系。
由條件知E(，0,0)，F(xiàn)（0,0，），B（，-，0），
C（0，-),）。
則有，.。
所以，即得BC∥EF.

（Ⅱ）解：由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知S_EOB=
而△OED是邊長(zhǎng)為2的正三角形，故S_OED=
所以S_OBED=S_EOB+S_OED=。
過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AD，交AD于點(diǎn)Q，
由平面ABED⊥平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐F-OBED的高，且FQ=，
所以V_F-OBED=FQ·S_OBED=。