Question

（本小題滿分14分）

設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，，原點到直線的距離為．

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）設為橢圓上的兩個動點，，過原點作直線的垂線，垂足為，求點的軌跡方程．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）點的軌跡方程為

【解析】（Ⅰ）證法一：由題設及，，不妨設點，其中．由于點在橢圓上，有，即．

解得，從而得到．

直線的方程為，整理得．

由題設，原點到直線的距離為，即，

將代入上式并化簡得，即．

證法二：同證法一，得到點的坐標為．

過點作，垂足為，易知，故．

由橢圓定義得，又，

所以，

解得，而，得，即．

（Ⅱ）解法一：設點的坐標為．

當時，由知，直線的斜率為，所以直線的方程為，或，其中，．

點的坐標滿足方程組

將①式代入②式，得，

整理得，

于是，．

由①式得

．

由知．將③式和④式代入得，

．

將代入上式，整理得．

當時，直線的方程為，的坐標滿足方程組

所以，．

由知，即，

解得．

這時，點的坐標仍滿足．

綜上，點的軌跡方程為　．

解法二：設點的坐標為，直線的方程為，由，垂足為，可知直線的方程為．

記（顯然），點的坐標滿足方程組

由①式得．　　　　　　③

由②式得．　　�、�

將③式代入④式得．

整理得，

于是．　　�、�

由①式得．　　　⑥

由②式得．　�、�

將⑥式代入⑦式得，

整理得，

于是．　　　⑧

由知．將⑤式和⑧式代入得，

．

將代入上式，得．

所以，點的軌跡方程為．