Question

f(x)=

x

1+x2

是定義在（-1，1）上的函數
（1）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數；
（2）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）任取（-1，1）上的兩實數x₁，x₂，且x₁＜x₂，利用實數的性質分析f（x₁），f（x₂）的大小，進而根據函數單調性的定義，可得結論；
（2）根據函數的奇偶性的定義，分析函數的奇偶性，進而結合函數的單調性，對不等式進行變形，可得答案．

解答：解：（1）設x₁，x₂為（-1，1）內任意兩實數，且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

又因為-1＜x₁＜x₂＜1，
所以x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
所以函數f（x）在（-1，1）上是增函數；-----------------------------------（5分）
（2）由函數f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數且f（t-1）+f（t）＜0得：
f（t-1）＜-f（t）=f（-t）
又由（1）可知函數f（x）是定義在（-1，1）的增函數，
所以有

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

⇒0＜t＜

1

2

．---------------------------------（12分）

點評：本題考查的知識點是函數單調性的性質及函數單調性的判斷與證明，函數的奇偶性的判斷與應用，是函數圖象和性質的綜合應用，熟練掌握函數單調性和奇偶性的定義是解答的關鍵．