Question

20．已知{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且b₁=a₁=1，b₃=a₄，b₁+b₂+b₃=a₃+a₄．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得d，q的方程組，解方程可得公差和公比，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得${c_n}={a_n}{b_n}=n•{2^{n-1}}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，
依b₁=a₁=1，b₃=a₄，b₁+b₂+b₃=a₃+a₄．
得$\left\{\begin{array}{l}1+3d={q^2}\\ 1+q+{q^2}=2+5d\end{array}\right.$
解得d=1，q=2，
所以a_n=1+（n-1）=n，${b_n}=1×{2^{n-1}}={2^{n-1}}$；
（2）由（1）知${c_n}={a_n}{b_n}=n•{2^{n-1}}$，
則${T_n}=1•{2^0}+2•{2^1}+$3•2²+…n•2^n-1①
2T_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ②
①-②得：$-{T_n}=1•{2^0}+1•{2^1}+1•{2^2}$+…+1•2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{{1•（{1-{2^n}}）}}{1-2}-n•{2^n}$=（1-n）•2ⁿ-1．
所以${T_n}=（{n-1}）•{2^n}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．