Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x-3x+3a（e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)$a＞ln\frac{3}{e}$，且x＞0時，$\frac{e^x}{x}＞\frac{3}{2}x+\frac{1}{x}-3a$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，列出變化表，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）問題等價于${e^x}＞\frac{3}{2}{x^2}-3ax+1$，設(shè)$g（x）={e^x}-\frac{3}{2}{x^2}+3ax-1$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 （ I）解　由f（x）=e^x-3x+3a，x∈R知f′（x）=e^x-3，x∈R．…（1分）
令f′（x）=0，得x=ln 3，…（2分）
于是當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表．

x	（-∞，ln 3）	ln 3	（ln 3，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	3（1-ln 3+a）	↑

故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，ln 3]，
單調(diào)遞增區(qū)間是[ln3，+∞），…（5分）
f（x）在x=ln 3處取得極小值，極小值為f（ln 3）=e^ln3-3ln 3+3a=3（1-ln 3+a）．…（6分）
（II）證明：待證不等式等價于${e^x}＞\frac{3}{2}{x^2}-3ax+1$…（7分）
設(shè)$g（x）={e^x}-\frac{3}{2}{x^2}+3ax-1$，x∈R，
于是g'（x）=e^x-3x+3a，x∈R．
由（ I）及$a＞ln\frac{3}{e}=ln3-1$知：g'（x）的最小值為g′（ln 3）=3（1-ln 3+a）＞0．…（9分）
于是對任意x∈R，都有g(shù)'（x）＞0，所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增．
于是當(dāng)$a＞ln\frac{3}{e}=ln3-1$時，對任意x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）＞g（0）．  …（10分）
而g（0）=0，從而對任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．
即${e^x}＞\frac{3}{2}{x^2}-3ax+1$，故$\frac{e^x}{x}＞\frac{3}{2}x+\frac{1}{x}-3a$                   …（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．