Question

7．將函數(shù)$y=\frac{x-3}{x-2}$的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到函數(shù)f（x），則函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=2sinπx（-2≤x≤4）的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 由題意和圖象平移法則化簡解析式，求出函數(shù)y=2sinπx的周期、對(duì)稱中心，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖象判斷出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性求出答案．

解答 解：由題意得，f（x）=$\frac{x+1-3}{x+1-2}-1$=$\frac{x-2}{x-1}-1$
=$\frac{x-1-1}{x-1}-1$=$-\frac{1}{x-1}$，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
且函數(shù)y=2sinπx的周期是2，且點(diǎn)（1，0）也是的對(duì)稱點(diǎn)，
在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象：
由圖象可知，兩個(gè)函數(shù)在[-2，4]上共有8個(gè)交點(diǎn)，
兩兩關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
設(shè)其中對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
則x₁+x₂=2×1=2，
∴8個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4×2=8．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)以及數(shù)值的計(jì)算，函數(shù)圖象的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的關(guān)鍵，難度較大，綜合性較強(qiáng)．