Question

在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥面ABCD，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=3，BC=5．
（Ⅰ）求證：A₁C₁⊥AB；
（Ⅱ）求點B₁到平面ABC₁的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接A₁B，由AB=CC₁，知AB=BB₁，由AA₁⊥面ABCD，知AA₁⊥AB．所以四邊形ABB₁A₁為正方形．由此能夠證明A₁C₁⊥AB．
（Ⅱ）由A₁B₁∥AB，知A₁B₁∥面ABC₁．則A₁到平面ABC₁的距離即為B₁到平面ABC₁的距離．由AB⊥A₁A，AB⊥A₁C₁，知AB⊥面AA₁C₁C，面ABC₁⊥面AA₁C₁C．過A₁作A₁G⊥AC₁于G，則A₁G⊥面ABC₁，則 A₁G的長就是點A₁到平面ABC₁的距離．由此能求出點B₁到平面ABC₁的距離．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接A₁B，∵AB=CC₁∴AB=BB₁
又AA₁⊥面ABCD∴AA₁⊥AB
則四邊形ABB₁A₁為正方形．∴AB₁⊥A₁B．∵AB₁⊥BC₁，∴AB₁⊥面A₁BC₁．∴AB₁⊥A₁C₁，∵BB₁⊥A₁C₁，∴A₁C₁⊥面A₁ABB₁，∴A₁C₁⊥AB
（Ⅱ）∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁∥面ABC₁．
則A₁到平面ABC₁的距離即為B₁到平面ABC₁的距離．
由（ I）知，AB⊥A₁A，AB⊥A₁C₁，∴AB⊥面AA₁C₁C，∴面ABC₁⊥面AA₁C₁C．
過A₁作A₁G⊥AC₁于G，則A₁G⊥面ABC₁，
則 A₁G的長就是點A₁到平面ABC₁的距離．
在Rt△A₁B₁C₁中，A₁C₁²=B₁C₁²-A₁B₁²=5²-3²=16，A₁C₁=4，
在Rt△A₁AC₁中，AC₁²=A₁C₁²+A₁A²=4²+3²=25，AC₁=5．
則由AC₁•A₁G=AA₁•A₁C₁可得 5×A₁G=3×4，∴A1G=

12

5

故 所求距離為

12

5

．

點評：本題考查點、線、面間距離的計算，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．