Question

在棱長為a的正方體盒內(nèi)裝有五個球，其中四個是半徑為r的等球，放在盒底四角，另一個大球半徑為R，放在四個等球的上面.若四個等球相鄰兩個外切，且還與正方體的側(cè)面及下底面相切，而這個大球分別與這四個等球相切，且與上底面相切，試用a表示R、r.

Answer 1

解析：提煉球心，構(gòu)造正四棱錐，尋找a、R、r的數(shù)量關(guān)系.依題意，得r=a.

如圖，將五個球的球心提煉出來，構(gòu)成正四棱錐O-O₁O₂O₃O₄，

其底面正方形的邊長2r=a，側(cè)棱長為R+r=R+a.正四棱錐的高

OH==.

∵R+OH+r=a,∴R++=a，即-R.

兩邊平方，化簡得R=a.

∴所求的表達式為r=a，R=a.