Question

(本題滿分14分)        

已知函數(shù)處取得極值為2．

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；

（Ⅲ）若圖象上的任意一點，直線l與的圖象相切于點P，求直線l的斜率的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ．（Ⅱ）．

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。利用已知條件得到參數(shù)關(guān)系式得到解析式，以及根據(jù)函數(shù)的遞增性質(zhì)，得到參數(shù)的范圍。以及直線與曲線相切的直線斜率的范圍。

（1）根據(jù)函數(shù)處取得極值為2．，那么求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則可知導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間恒大于等于零，分離參數(shù)的思想得到，實數(shù)m的取值范圍；

（Ⅲ）因為圖象上的任意一點，直線l與的圖象相切于點P，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，直線l的斜率的取值范圍．

解：（Ⅰ）已知函數(shù)，∴

又函數(shù)處取值極值2，   ∴

即      ∴ ．      …………………… 5分

（Ⅱ）∵，得

所以的單調(diào)增區(qū)間為[，1]．

因函數(shù)上單調(diào)遞增，        則有，

解得上為增函數(shù)．  ………………… 9分

（Ⅲ）∵，∴．

直線l的斜率,

即, 則

從而得k的取值范圍是．                     ……………………… 14分