Question

已知數列{a_n}的首項a₁=b（b≠0），它的前n項的和S_n=a₁+a₂+…+a_n（n≥1），并且S₁，S₂，S_n，…是一個等比數列，其公比為p（p≠0且|p|＜1），
（1）證明：a₂，a₃，a₃，…a_n，…（即{a_n}從第二項起）是一個等比數列；
（2）設W_n=a₁S₁+a₂S₂+a₃S₃+…+a_nS_n（n≥1），求

lim

n→∞

Wn（用b，p表示）．

Answer 1

分析：（1）由題前n項的和S_n是一個等比數列，利用a_n與S_n的關系，求出a_n進而可證．
（2）先判斷{a_nS_n}是什么數列，再求和進而求極限得解．

解答：解：（1）證明：由已知條件得S₁=a₁=b．
S_n=S₁p^n-1=bp^n-1（n≥1）
因為當n≥2時，S_n=a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=S_n-1+a_n，所以
a_n=S_n-S_n-1=bp^n-2（p-1）（n≥2）
從而

an+1

an

=

bpn-1(p-1)

bpn-2(p-1)

=p(n≥2)，
因此a₂，a₃，a₃，a_n，是一個公比為p的等比數列
（2）當n≥2時，

an+1Sn+1

anSn

=

bpn-1(p-1)bpn

bpn-2(p-1)bpn-1

=p2，
且由已知條件可知p²＜1，
因此數列a₁S₁，a₂S₂，a₃S₃，a_nS_n是公比為p²＜1的無窮等比數列，于是

lim

n→∞

(a2S2+a3S3+…+anSn)=

a2S2

1-p2

=

b2(p-1)p

1-p2

=-

b2p

1+p

．
從而

lim

n→∞

Wn=

lim

n→∞

(a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn)
=

lim

n→∞

a1S1+

lim

n→∞

(a2S2+a3S3+…+anSn)
=b2-

b2p

1+p

=

b2

1+p

．

點評：（1）考查數列的證明，注意：從從第二項開始為等比．
（2）考查數列求和求極限，注意：1：數列{a_nS_n}從第二項開始為等比數列，求和時不要忘記第一項． 2：記住無窮遞降等比數列前n項和極限公式即{a_n}等比-1＜q＜1且q≠0時

lim

n→∞

S_n=

a1

1-q

．