Question

10．若實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，動(dòng)直線l：ax+by+c=0與圓x²+y²=9相交于A，B兩點(diǎn)，則使得弦長(zhǎng)|AB|為整數(shù)的直線l共有（　　）條．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的定義求出直線l恒過定點(diǎn)（1，-2），畫出圖形，討論弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍，從而求出滿足條件的直線條數(shù)．

解答 解：實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，所以2b=a+c，
所以直線l：ax+by+c=0恒過定點(diǎn)P（1，-2）；
當(dāng)直線1與OP垂直時(shí)，圓心O到定點(diǎn)P的距離d=$\sqrt{5}$，
弦長(zhǎng)|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=4，滿足題意，此時(shí)直線有1條；
當(dāng)直線1過圓心O時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|=2r=6，滿足題意，此時(shí)直線有1條；
當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|=5時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線應(yīng)有2條，如圖所示；
綜上，直線l被圓x²+y²=9所截得弦長(zhǎng)為整數(shù)時(shí)，
對(duì)應(yīng)的直線l有4條．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問題，也考查了等差數(shù)列的應(yīng)用問題，是綜合性題目．