Question

先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題：
已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求證：a₁²+a₂²≥

1

2

；
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²，f（x）=2x²-2（a₁+a₂）x+a₁²+a₂²=2x²-2x+a₁²+a₂²，
因為對一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4-8（a₁²+a₂²）≤0，從而a₁²+a₂²≥

1

2

．
（1）已知a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，請寫出上述結(jié)論的推廣式；
（2）參考上述證法，對你的推廣的結(jié)論進(jìn)行證明；
（3）若

1-x

+

2-y

+

3-z

=1，求x+y+z的最大值．

Answer 1

考點：歸納推理,不等式的證明

專題：綜合題,推理和證明

分析：（1）由已知中已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求證a₁²+a₂²≥

1

2

及整個式子的證明過程，我們根據(jù)歸納推理可以得到一個一般性的公式，若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，則a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n

；
（2）觀察已知中的證明過程，我們可以類比對此公式進(jìn)行證明；
（3）由（2）知，a₁+a₂+a₃=1，a₁²+a₂²+a₃²≥

1

3

，令a₁=

1-x

+=，a₂=

2-y

，a₃=

3-z

，則1-x+2-y+3-z≥

1

3

，即可求出x+y+z的最大值．

解答： 解：（1）若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，
求證：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n

（2）證明：構(gòu)造函數(shù)
f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²
=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+a₁²+a₂²+…+a_n²
=nx²-2x+a₁²+a₂²+…+a_n²
因為對一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4-4n（a₁²+a₂²+…+a_n²）≤0
從而證得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n

；
（3）由（2）知，a₁+a₂+a₃=1，a₁²+a₂²+a₃²≥

1

3

，
令a₁=

1-x

，a₂=

2-y

，a₃=

3-z

，則1-x+2-y+3-z≥

1

3

，
∴x+y+z≤

17

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

8

9

，y=

17

9

，z=

26

9

時，x+y+z的最大值為

17

3

．

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．（3）對歸納得到的一般性結(jié)論進(jìn)行證明．