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在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=AA1=1，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為（　�。�
A、
1
3
B、
2
4
C、2
2
D、
2
2
3
考點：用空間向量求直線與平面的夾角,直線與平面所成的角
專題：空間角,空間向量及應用
分析：可以考慮用向量解決本題，所以分別以DA，DC，DD1三直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，根據(jù)線面角的概念知D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值等于
D1C1
與平面A1BC1的法向量夾角的余弦值的絕對值，所以根據(jù)已知的邊的長度求出
D1C1
，
A1C1
，
A1B
的坐標，設平面A1BC1的法向量為
n
=(x，y，z)，根據(jù)向量
n
與
A1C1
，
A1B
垂直即可求出
n
，根據(jù)向量夾角余弦公式即可求出向量
D1C1
，
n
夾角的余弦值的絕對值．
解答： 解：如圖，分別以DA，DC，DD1三條邊所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系；
根據(jù)題意知，D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值等于向量
D1C1
和平面A1BC1的法向量夾角余弦值的絕對值；
根據(jù)已知的邊的長度，可求以下幾點坐標：
D1（0，0，1），C1（0，2，1），A1（1，0，1），B（1，2，0）；
∴
D1C1
=(0，2，0)，
A1C1
=(-1，2，0)，
A1B
=(0，2，-1)；
設平面A1BC1的法向量為
n
=(x，y，z)，則
n
•
A1C1
=0
n
•
A1B
=0
；
∴
-x+2y=0
2y-z=0
，取y=1，∴
n
=(2，1，2)；
∴|cos＜
D1C1
，
n
＞|=|
D1C1
•
n
|
D1C1
||
n
|
|=|
2
2×3
|=
1
3
．
故選A．
點評：考查運用空間向量解決線面角的問題，以及向量數(shù)量積的坐標公式，兩向量夾角的余弦公式．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設復數(shù)z=
1
1-i
，
.
z
是z的共軛復數(shù)，則z+
.
z
=（　�。�
A、
1+i
2
B、i
C、-1
D、1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=
(5-m)x+1，(x≤0)
mx+m-1，(x＞0)
，若f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知全集U=R，集合A={x|x＜-2，或x＞0}，B={x|
1
x
＜1}，則（∁UA）∩B=（　　）
A、（-2，0）B、[-2，0）
C、∅D、（-2，1）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|x+1＜0}，B={x|x-3＜0}，那么集合A∪B等于（　�。�
A、{x|x＜-3}
B、{x|x＜3}
C、{x|x＜-1}
D、{x|-1＜x＜3}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，直線PC與底面ABCD所成的角為45°，E、F分別是BC、PC的中點．
（Ⅰ）證明：AE⊥PD；
（Ⅱ）求二面角E-AF-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，且該橢圓上一點A與左、右焦點F1，F(xiàn)2構成的三角形周長為2
2
+2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）記橢圓C的上頂點為B，直線l交橢圓C于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使橢圓C的右焦點F2恰為△PQB的垂心（△PQB三條邊上的高線的交點）？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）若⊙M是以AF2為直徑的圓，求證：⊙M與以坐標原點為圓心，a為半徑的圓相內(nèi)切．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，菱形ABCD與矩形BDEF所在平面互相垂直，∠BAD=
π
3
．
（Ⅰ）求證：FC∥平面AED；
（Ⅱ）若BF=k•BD，當二面角A-EF-C為直二面角時，求k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求直線BC與平面AEF所成的角θ的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有一小型自來水廠，蓄水池中已有水450噸，水廠每小時可向蓄水池注水80噸，同時蓄水池向居民小區(qū)供水，x小時內(nèi)供水總量為80
20x
噸．現(xiàn)在開始向池中注水并同時向居民小區(qū)供水，問：
（1）多少小時后蓄水池中的水量最少？
（2）如果蓄水池中存水量少于150噸時，就會出現(xiàn)供水緊張，那么有幾個小時供水緊張？

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同步練習冊答案