Question

【例】某體育館擬用運動場的邊角地建一個矩形的健身室.如圖所示，ABCD是一塊邊長為50 m的正方形地皮，扇形CEF是運動場的一部分，其半徑為40 m，矩形AGHM就是擬建的健身室，其中G、M分別在AB和AD上，H在上.設矩形AGHM的面積為S，∠HCF=θ，請將S表示為θ的函數(shù)，并指出當點H在的何處時，該健身室的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

S=（50－40cosθ）（50－40sinθ），當θ=0或θ=，S_max=500

解析:

解: 延長GH交CD于N，則NH=40sinθ，CN=40cosθ.

∴HM=ND=50－40cosθ，AM=50－40sinθ.

故S=（50－40cosθ）（50－40sinθ）=

100［25－20（sinθ+cosθ）+16sinθcosθ］（0≤θ≤）.

令t=sinθ+cosθ=sin（θ+），

則sinθcosθ=，且t∈［1，］.

∴S=100［25－20t+8（t²－1）］=800（t－）²+450.

又t∈［1，］，∴當t=1時，S_max=500，

此時sin（θ+）=1sin（θ+）=.

∵≤θ+≤π，∴θ+=或π，

即θ=0或θ=.

答:當點H在的端點E或F處時，該健身室的面積最大，最大面積是500 m².