Question

【題目】設(shè)函數(shù)在點處的切線方程是

（1）求實數(shù)的值.

（2）若方程有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，得到，，即可求解；

（2）由方程有唯一實數(shù)解，得有唯一實數(shù)解，

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性與最小值，再由有唯一解，轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，再由至多有一解，得到，代入方程組，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，則，

當(dāng)時，，所以，

又由，解得.

（2）由（1）可得，

因為方程有唯一實數(shù)解，

所以有唯一實數(shù)解，

設(shè)，則，

令，則，

因為，所以，方程有兩異號根，設(shè)為，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，取最小值，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

因為有唯一解，所以，則，即，

因為，所以，（*）

設(shè)函數(shù)，

因為當(dāng)時，是增函數(shù)，所以至多有一解，

因為，所以方程（*）的解為，

代入方程組解得.