Question

（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐中，⊥平面，⊥平面，

，。

（1）求證：平面ADE⊥平面ABE；

（2）求二面角A—EB—D的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）二面角A—EB—D的余弦值為 。

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中面面垂直的證明以及二面角的求解的綜合運用

（1）取BE的中點O，連OC，∵BC=CE, ∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE. 以O(shè)為原點建立如圖空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則由已知條件表示點的坐標(biāo)，利用平面的法向量與法向量的夾角來得到證明。

（2）在第一問的基礎(chǔ)上得到平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式得到結(jié)論。

（1）解：取BE的中點O，連OC，∵BC=CE, ∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE. 以O(shè)為原點建立如圖空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則由已知條件有：

，，，， ……2分

設(shè)平面ADE的法向量為，

則由

及

可取  …………4分

又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，OC⊥平面ABE，

∴平面ABE的法向量可取為＝. ……6分

∵·，∴⊥，∴平面ADE⊥平面ABE. ……8分

（2）設(shè)平面BDE的法向量為，

則由

及 可取…………11分

∵平面ABE的法向量可取為 …………12分

∴銳二面角A—EB—D的余弦值為，

∴二面角A—EB—D的余弦值為  …………14分