Question

12．已知{a_n}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列，且a₄，a₆，a₅成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）設(shè){b_n}是以2為首項，q為公差的等差數(shù)列，其前n項和為T_n，當(dāng)n≥2時，比較T_n與b_n的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過化簡2a₆=a₄+a₅可知2q²-q-1=0，解方程可知q=1或q=-$\frac{1}{2}$，分兩種情況利用等比數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）可知，分q=1或q=-$\frac{1}{2}$兩種情況討論即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)2a₆=a₄+a₅，
又∵a₁=1≠0，
∴2q²-q-1=0，
解得：q=1或q=-$\frac{1}{2}$，
①若q=1時，S_n=n；
②若$q=-\frac{1}{2}$時，${S_n}=\frac{{2（{1-{{（{-\frac{1}{2}}）}^n}}）}}{3}$；
（Ⅱ）由（I）可知，
①若q=1時，${T_n}=\frac{{{n^2}+3n}}{2}$，
當(dāng)n≥2時，${T_n}-{b_n}={T_{n-1}}=\frac{{（{n-1}）（{n+2}）}}{2}$，
故T_n＞b_n；
②若$q=-\frac{1}{2}$時，${T_n}=\frac{{-{n^2}+9n}}{4}$，
當(dāng)n≥2時，${T_n}-{b_n}={T_{n-1}}=\frac{{（{n-1}）（{10-n}）}}{4}$，
故對于n∈N₊，當(dāng)2≤n≤9時，T_n＞b_n；
當(dāng)n=10時，T_n=b_n；當(dāng)n≥11時，T_n＜b_n．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．