Question

（05年全國卷Ⅰ理）（12分）

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，求的最小值；

（Ⅱ）設(shè)正數(shù)滿足，證明：

      

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)：

  

于是

當(dāng)在區(qū)間是減函數(shù)，

當(dāng)在區(qū)間是增函數(shù).

所以時取得最小值，，

（Ⅱ）證法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（i）當(dāng)n=1時，由（Ⅰ）知命題成立.

（ii）假定當(dāng)時命題成立，即若正數(shù)，

則

當(dāng)時，若正數(shù)

令

則為正數(shù)，且

由歸納假定知

        ①

同理，由可得

    ②

綜合①、②兩式

即當(dāng)時命題也成立.

根據(jù)（i）、（ii）可知對一切正整數(shù)n命題成立.

證法二：

令函數(shù)

利用（Ⅰ）知，當(dāng)

 

對任意

                     .  ①

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.

（i）當(dāng)n=1時，由（I）知命題成立.

（ii）設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即若正數(shù)

 

由①得到

      由歸納法假設(shè)

     

      

      即當(dāng)時命題也成立.

      所以對一切正整數(shù)n命題成立.