Question

如圖，平面內(nèi)的定點(diǎn)F到定直線l的距離為2，定點(diǎn)E滿足：||=2且EF⊥l于G，點(diǎn)Q是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M滿足=0．
（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若經(jīng)過點(diǎn)E的直線l₁與點(diǎn)P的軌跡交于相異兩點(diǎn)A、B，令∠AFB=θ，當(dāng)π≤θ＜π時(shí)，求直線l₁的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）以FG的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以EF所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，由求出Q，M的坐標(biāo)，由列式求出P點(diǎn)的軌跡；
（2）設(shè)出直線l₁ 的方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，進(jìn)一步得到縱坐標(biāo)的和與積，然后把的數(shù)量積與模用含有k的代數(shù)式表示，代入向量夾角公式后可求值．
解答：解：（1）以FG的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以EF所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系
xoy，設(shè)點(diǎn)P（x，y），則F（0，1），E（0，3），l：y=-1
∵，∴
∵，∴．
即所求點(diǎn)P軌跡方程x²=4y；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）
設(shè)直線l₁的方程為y=kx+3（k≠0）．
由，得x²-4kx-12=0
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-12
∴

∵，
∴
=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
=-12+9-4k²-6+1
=-4k²-8．

=
∴
由于，
∴，即．
∴，∴，解得或．
∴直線l₁ 的斜率k的取值范圍是{k|或}．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的斜率，考查了與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程問題，訓(xùn)練了平面向量在解題中的應(yīng)用，利用根與系數(shù)關(guān)系解題是處理該題的關(guān)鍵，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是難題．