Question

選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）

如下圖，AB、CD是圓的兩條平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圓于F，過A點的切線交DC的延長線于P，PC=ED=1，PA=2．

（1）求AC的長；

（2）求證：BE ＝ EF．

Answer 1

【解析】
（1）∵PA2=PCPD，PA=2，PC=1，∴PD=4，

又∵PC=ED=1，∴CE=2，

∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，

∴△PAC∽△CBA，∴

∴AC2=PCAB=2，∴AC=（5分）

（2）∵BE=AC=，CE=2，而CEED=BEEF，

∴EF=，∴EF=BE．（10分）

【解析】

試題分析：（1）由PA是圓的切線結合切割線定理得比例關系，求得PD，再由角相等得三角形相似：△PAC∽△CBA，從而求得AC的長；

（2）欲求證：“BE=EF”，可先分別求出它們的值，比較即可，求解時可結合圓中相交弦的乘積關系．

考點：與圓有關的比例線段，幾何證明

點評：本題主要考查與圓有關的比例線段、圓中的切割線定理以及相似三角形的知識．