Question

如圖已知拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于5.過(guò)A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.

（1）求拋物線(xiàn)方程；

（2）求M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)K（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線(xiàn)AK與圓M的位置關(guān)系.

Answer 1

解：(1)拋物線(xiàn)y²=2px的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-,于是,4+=5,∴p=2,∴拋物線(xiàn)方程為y²=4x,?

(2)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,4),由題意得B(0,4),M(0,2).?

又∵F(1,0),∴K_FA=,又MN⊥FA,∴K_MN=-,?

則FA的方程為y=(x-1),MN的方程為y-2=-x,解方程組得

∴N(,).?

(3)由題意得,圓M的圓心是點(diǎn)(0,2),半徑為2,?

當(dāng)m=4時(shí),直線(xiàn)AK的方程為x=4,此時(shí),直線(xiàn)AK與圓M相離,?

當(dāng)m≠4時(shí),直線(xiàn)AK的方程為y=(x-m),?

即為4x-(4-m)y-4m=0,?

圓心M(0,2)到直線(xiàn)AK的距離d=,令d＞2,?

解得m＞1.∴當(dāng)m＞1時(shí),直線(xiàn)AK與圓M相離;?

當(dāng)m=1時(shí),直線(xiàn)AK與圓M相切;?

當(dāng)m＜1時(shí),直線(xiàn)AK與圓M相交.