Question

如圖已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5.過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M.

（1）求拋物線方程；

（2）求M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標；

（3）以M為圓心，MB為半徑作圓M，當K（m，0）是x軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系.

Answer 1

解：(1)拋物線y²=2px的準線為x=-,于是,4+=5,∴p=2,∴拋物線方程為y²=4x,?

(2)∵點A的坐標是(4,4),由題意得B(0,4),M(0,2).?

又∵F(1,0),∴K_FA=,又MN⊥FA,∴K_MN=-,?

則FA的方程為y=(x-1),MN的方程為y-2=-x,解方程組得

∴N(,).?

(3)由題意得,圓M的圓心是點(0,2),半徑為2,?

當m=4時,直線AK的方程為x=4,此時,直線AK與圓M相離,?

當m≠4時,直線AK的方程為y=(x-m),?

即為4x-(4-m)y-4m=0,?

圓心M(0,2)到直線AK的距離d=,令d＞2,?

解得m＞1.∴當m＞1時,直線AK與圓M相離;?

當m=1時,直線AK與圓M相切;?

當m＜1時,直線AK與圓M相交.