Question

13．2015年高考體檢中，某校高三共有學生1000人，檢查的身體的某項指標為由低到高的4個等級，具體如下表：

等級	1級	2級	3級	4級
人數(shù)	200	500	200	100

（1）若按分層抽樣的方法從中抽取20人，再從這20人中抽取2人，求這2人的該項身體指標級別至少有1人小于2人的概率；
（2）若把該校高三學生該項指標中恰好為1級的頻率視為概率，從這1000人中任選1人，若其該項指標恰好為1級則結(jié)束，否則再選取1人，依次選取，直至找到1人該項指標恰好為1級或選夠4人，則結(jié)束選取，求結(jié)束時選取的人數(shù)的分布列與期望．

Answer 1

分析 （1）由分層抽樣求出抽取的身體指標為1級，2級，3級，4級的人數(shù)分別為4，10，4，2，由此利用對立事件概率計算公式能求出“這2人的該項身體指標級別至少有1人低于2級”的概率．
（2）設選取的人數(shù)為X，則X的可能取值為1，2，3，4．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）分層抽樣的抽取比例為$\frac{20}{1000}$=$\frac{1}{50}$，
則抽取的身體指標為1級，2級，3級，4級的人數(shù)分別為4，10，4，2．
設“這2人的該項身體指標級別至少有1人低于2級”為事件A，
則P（A）=1-$\frac{{C}_{16}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{7}{19}$．
（2）設選取的人數(shù)為X，則X的可能取值為1，2，3，4．
把該校高三學生該項指標中恰好為1級的頻率視為概率，
則把該校高三學生該項指標中恰好為1級概率p=$\frac{1}{5}$，
 P（X=1）=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{5}$=$\frac{4}{25}$，
P（X=3）=$\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}$=$\frac{16}{125}$，
P（X=4）=$\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{64}{125}$．
故X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{25}$	$\frac{16}{125}$	$\frac{64}{125}$

EX=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{4}{25}$+3×$\frac{16}{125}$+4×$\frac{64}{125}$=$\frac{369}{125}$．

點評 本題考查概率的求法，考術離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．