Question

12．已知定義域為[0，e]的函數(shù)f（x）同時滿足：
①對于任意的x∈[0，e]，總有f（x）≥0；
②f（e）=e；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤e，則恒有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（0）的值；
（2）證明：不等式f（x）≤e對任意x∈[0，e]恒成立；
（3）若對于任意x∈[0，e]，總有4f²（x）-4（2e-a）f（x）+4e²-4ea+1≥0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x₁=0，x₂=0代入即可得到答案，
（2）用定義確定函數(shù)f（x）在[0，e]上是單調遞增的，求出函數(shù)的最值即可，
（3）先根據(jù)函數(shù)f（x）的單調性確定函數(shù)f（x）的取值范圍，再分離參數(shù)的方法將a表示出來用基本不等式求出a的范圍．

解答 解：（1）令x₁=0，x₂=0，得f（0）≤0，
又對于任意的x∈[0，e]，總有f（x）≥0，
∴f（0）=0，
（2）證明：設0≤x₁≤x₂≤e，則x₂-x₁∈（0，e]
∴f（x₂）-f（x₁）=f（（x₂-x₁）+x₁）-f（x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）≥0，
∴f（x₂）≥f（x₁），
∴f（x）在[0，e]上是單調遞增的，
∴f（x）≤f（e）=e，
（3）∵f（x）在[0，e]上是增函數(shù)，
∴f（x）∈[0，e]，
∵4f²（x）-4（2e-a）f（x）+4e²-4ea+1≥0，
∴4f²（x）-8ef（x）+4e²+1≥4a[e-f（x）]，
當f（x）≠e時，
a≤$\frac{4{f}^{2}（x）-8ef（x）+4{e}^{2}+1}{4[e-f（x）]}$，
令y=$\frac{4{f}^{2}（x）-8ef（x）+4{e}^{2}+1}{4[e-f（x）]}$=$\frac{4[e-f（x）]^{2}+1}{4[e-f（x）]}$=e-f（x）+$\frac{1}{4[e-f（x）]}$≥e，當且f（x）=e-$\frac{1}{2}$時取等號，
∴a≤e，
當f（x）=e時，4f²（x）-4（2e-a）f（x）+4e²-4ea+1=4e²-4（2e-a）e+4e²-4ea+1=1≥0恒成立，
綜上所述a≤e．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的問題，以及函數(shù)的單調性和函數(shù)的最值，以及參數(shù)的取值范圍，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于中檔題．