Question

過軸上動點引拋物線的兩條切線、，、為切點,設切線、的斜率分別為和．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：直線恒過定點，并求出此定點坐標；

 

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）（0，2）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設過與拋物線的相切的直線的斜率是，則該切線的方程為，將直線方程代入拋物線的方程化簡得，由得，而都是方程的解，故；（Ⅱ）法1：設，由導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點斜式寫出切線方程并化簡變形得切線方程為，切線方程為，又由于點在AP、AQ上，所以，，則直線的方程是，則直線過定點.；法2：由（1）知P、Q的橫坐標是方程的根，可設，由兩點坐標求得PQ的方程并化簡為即，由（1）知，所以直線的方程是，則直線過定點.

試題解析：（Ⅰ）設過與拋物線的相切的直線的斜率是，

則該切線的方程為：，由得

，

則都是方程的解，故。

（Ⅱ）法1：設，

故切線的斜率是，方程是又，

所以方程可化為，

切線的斜率是，方程是又，

所以方程可化為，

又由于點在AP上，則，

又由于點在AQ上，則 ，

，

則直線的方程是，則直線過定點.

法2：設， 所以,

直線：，

即，由（1）知，

所以，直線的方程是，則直線過定點.

考點：1.導數(shù)的幾何意義；2.切線方程及其應用；3.直線與拋物線的位置關系