Question

【題目】已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，是邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，其中，則的最大值為（ ）

A.1B.C.2D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

可建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)條件可得動(dòng)點(diǎn)在圖中的圓上（實(shí)線部分）運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)，則可用的三角函數(shù)表示，從而可求其最大值.也可以把表示為，故（如圖），利用向量共線的幾何意義可得的最大值就是的最大值，利用三角形相似得當(dāng)與半圓相切時(shí)最大.

如圖所示，由于動(dòng)點(diǎn)滿足，且，

因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的半圓（圖中實(shí)線）上運(yùn)動(dòng)，，，，，，，，

所以，

，

因?yàn)?/span>，所以，.

所以，故選D．

方法二：等和線法

由于動(dòng)點(diǎn)滿足，且，其中，

所以點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的半圓（圖中實(shí)線）上運(yùn)動(dòng)且.

設(shè)的中點(diǎn)為，與交于點(diǎn)，

，

所以，所以，

過點(diǎn)分別作直線平行交于，

則，當(dāng)與半圓相切時(shí)，最大且為.

故選D.