Question

【題目】定義一個(gè)“希望結(jié)合”（）簡稱如下：為一個(gè)非空集合，它滿足條件“若，則”。試問：在集合中，一共有多少個(gè)“希望子集合”？請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】

【解析】

下面用“”表示與的兩倍關(guān)系.注意到

顯然，是否在中不影響成為希望子集（因?yàn)檫@些數(shù)不能被整除，且每個(gè)數(shù)的兩倍均大于），所以，這個(gè)數(shù)的歸屬方案有種.

在①中，與不能同時(shí)取，故有種方案.

同理，在②、③、④中，也各有種方案.

下面采用遞推算法.

在⑤中，若取，則不能取，此時(shí)，可取亦可不取，有兩種方案：若不取，則由①知，關(guān)于和，共有種方案（和的情況與①相同）.因此，在⑤中共有種方案.

同理，在⑥中共有種方案.

在⑦中，若取，則不能取，由①知關(guān)于和，有種方案；若不取，則由⑤知，關(guān)于有種方案.因此，在⑦中共有種方案.

在⑧中，若取，則不能取，由⑤知關(guān)于，有種方案；若不取，則由⑦知關(guān)于，有種方案.因此，在⑧中共有種方案.

再考慮到除去空集（即都不取），因此所求的的希望子集的個(gè)數(shù)為.