Question

在一個(gè)給定的正（2n+1）邊形的頂點(diǎn)中隨機(jī)地選取三個(gè)不同的頂點(diǎn)，任何一種選法的可能性是相等的，則正多邊形的中心位于所選三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形內(nèi)部的概率為    ．

Answer 1

【答案】分析：從（2n+1）邊形的頂點(diǎn)中隨機(jī)地選取三個(gè)不同的頂點(diǎn)中取3個(gè)的所有不同的取法有C_2n+1³，每種取法等可能出現(xiàn)，屬于古典概率，正多邊形的中心位于所選三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形內(nèi)部，若第一個(gè)點(diǎn)取的就是點(diǎn)2n+1，對(duì)于第二個(gè)點(diǎn)分類考慮：第二個(gè)點(diǎn)取取的是點(diǎn)1，第二個(gè)點(diǎn)取的是點(diǎn)2…第二個(gè)點(diǎn)取的是m，第二個(gè)點(diǎn)取的是點(diǎn)n，再考慮第三個(gè)點(diǎn)的所有取法，利用古典概率的公式可求．
解答：解：不妨設(shè)以時(shí)鐘12點(diǎn)方向的頂點(diǎn)為點(diǎn)2n+1，順時(shí)針方向的下一個(gè)點(diǎn)為點(diǎn)1，則以時(shí)鐘12點(diǎn)和6點(diǎn)連線為軸，左右兩邊各有n個(gè)點(diǎn)．
多邊形中心位于三角形內(nèi)部的三角形個(gè)數(shù)a：
假設(shè)第一個(gè)點(diǎn)取的就是點(diǎn)2n+1，則剩下的兩點(diǎn)必然在軸線的一左一右．
對(duì)于第二個(gè)點(diǎn)取的是點(diǎn)1，
對(duì)于第二個(gè)點(diǎn)取的是點(diǎn)2，第三個(gè)點(diǎn)能取點(diǎn)n+1、點(diǎn)n+2，有2種
…
對(duì)于第二個(gè)點(diǎn)取的是點(diǎn)m，第三個(gè)點(diǎn)能取點(diǎn)n+1、點(diǎn)n+2…點(diǎn)n+m，有m種
…
對(duì)于第二個(gè)點(diǎn)取的是點(diǎn)n，第三個(gè)點(diǎn)能取點(diǎn)n+1，點(diǎn)n+2…點(diǎn)2n，有n種
一共1+2+…n=（n+1）n種
如果第二個(gè)點(diǎn)取的是點(diǎn)n+1到點(diǎn)2n，可視為上述情況中的第三個(gè)點(diǎn)．
所以a=（n+1）n×（2n+1）=（2n+1）（n+1）n
一共可構(gòu)成三角形個(gè)數(shù)b=（2n+1）n（2n-1）
∴P==
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等可能事件的概率公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求解基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)要合理的分類，靈活利用組合數(shù)，本題有一定的難度．