Question

有一種電影放映機的放映燈泡的玻璃上鍍鋁，只留有一個透明窗用作通光孔，它的反射面是一種曲線旋轉而成的曲面的一部分，燈絲定在某個地方發(fā)出光線反射到卡門上，并且這兩物體間距離為4.5 cm，燈絲距頂面距離為2.8 cm，為使卡門處獲得最強烈的光線，在加工這種燈泡時，應使用何種曲線可使效果最佳？試求這個曲線方程．

Answer 1

分析：采用橢圓旋轉而成的曲面，效果最佳，如圖建立平面直角坐標系，設出橢圓的方程，根據燈絲距頂面距離為p，根據橢圓的性質可知|F₁F₂|=2c，且△BF₁F₂為直角三角形，利用勾股定理即可表示出|BF₂|的長，然后根據橢圓的定義可知|F₁B|+|F₂B|=2a，即可求出a與b的值，代入設出的橢圓方程即可確定出解析式．

解答：解：采用橢圓旋轉而成的曲面，
如圖建立直角坐標系，中心截口BAC是橢圓的一部分，
設其方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
燈絲距頂面距離為p，由于△BF₁F₂為直角三角形，
因而，|F₂B|²=|F₁B|²+|F₁F₂|²=p²+4c²，由橢圓性質有|F₁B|+|F₂B|=2a，
所以a=

1

2

（p+

p2+4c2

）=

1

2

（2.8+

2.82+4.52

）≈4.05cm，b=

a2-c2

≈3.37m．
∴所求方程為

x2

4.052

+

y2

3.372

=1．

點評：此題考查學生掌握橢圓的簡單性質，考查了數形結合的數學思想，是一道中檔題．