Question

已知向量

a

=(cosα，sinα），

b

=(cosβ，sinβ）且|

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，k＞-

1

3

，k∈R
（1）用k表示

a

•

b

；
（2）當(dāng)

a

•

b

最小時(shí)，求向量

a

+

b

與向量

a

-k

b

的夾角θ．

Answer 1

分析：（1）由|

a

+

b

|2=3|

a

-k

b

|2，知（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²=3[（cosα+kcosβ）²+（sinα+ksinβ）²]，所以cos(α-β)=

1

2

3k2+1

3k+1

．由k＞-

1

3

及|cos（α-β）|≤1，得1-

2 3

3

≤k≤1+

2 3

3

．由此能用k表示

a

•

b

．
（2）當(dāng)

a

•

b

最小時(shí)，cosθ=

( a + b )•( a -k b )

| a + b || a -k b |

=

( a + b )•( a - 1 3 b )

( a + b )2 ( a - 1 3 b )2

．將

a

2=1，

b

2=1，

a

•

b

=

1

3

代入可得

a

+

b

與

a

-k

b

的夾角為arccos

3

3

．

解答：解：（1）∵|

a

+

b

|2=3|

a

-k

b

|2，
∴（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²=3[（cosα+kcosβ）²+（sinα+ksinβ）²]
得  cos(α-β)=

1

2

3k2+1

3k+1

…（4分）
由k＞-

1

3

及|cos（α-β）|≤1，
得1-

2 3

3

≤k≤1+

2 3

3

，
∴

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)
=

1

2

3k2+1

3k+1

，k∈[1-

2 3

3

，1+

2 3

3

]…（6分）
令3k+1=t，
則t＞0，
k=

1

3

(t-1)代入上式可得

a

•

b

=

1

6

t2-2t+4

t

=

1

6

(t+

4

t

-2)≥

1

6

(2

4

-2)=

1

3

當(dāng)且僅當(dāng)t=2，
即k=

1

3

(t-1)時(shí)，
取“=”，(

a

•

b

)min=

1

3

…（10分）
（2）當(dāng)

a

•

b

最小時(shí)，
 cosθ=

( a + b )•( a -k b )

| a + b || a -k b |

=

( a + b )•( a - 1 3 b )

( a + b )2 ( a - 1 3 b )2

=

a 2- 1 3 b 2+ 2 3 a • b

a 2+ b 2+2 a • b a 2+ 1 9 b 2- 2 3 a • b

…（12分）
將

a

2=1，

b

2=1，

a

•

b

=

1

3

代入上式，
得cosθ=

3

3

，θ=arccos

3

3

即

a

+

b

與

a

-k

b

的夾角為arccos

3

3

…（14分）

點(diǎn)評：本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．