Question

【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.若將曲線（為參數(shù)）上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>（縱坐標(biāo)不變），然后將所得圖象向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到曲線C.直線l的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線C的普通方程；

（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，線段AB的中點(diǎn)為M，求.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意得到（為參數(shù)）后，消去參數(shù)即可得到曲線C的普通方程；

（2）將直線的方程化為參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式并代入到圓的方程，利用參數(shù)的幾何意義可解得結(jié)果.

（1）將曲線（為參數(shù)）上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>（縱坐標(biāo)不變），得到， 然后將所得圖像向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到（為參數(shù)），消去參數(shù)得圓C的普通方程為.

（2）由得，即，因?yàn)?/span>，所以，

即直線l的直角坐標(biāo)方程為：，傾斜角為，點(diǎn)，

設(shè)直線l的參數(shù)方程為，代入圓C的普通方程并整理得：，

因?yàn)?/span>，設(shè)、兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，

由韋達(dá)定理得，，

則.