Question

已知函數f(x)=log

1

2

(x2-2ax+3)，
（1）若函數定義域為（-∞，-1）∪（3，+∞），求a的值；
（2）若函數值域為（-∞，-1]，求a的值；
（3）若f（x）在（-∞，1]單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得故-1和3是 x²-2ax+3=0的兩個根，利用韋達定理求得a的值．
（2）若函數值域為（-∞，-1]，則函數f(x)=log

1

2

(x2-2ax+3)≤-1，故有x²-2ax+3≥2恒成立，再根據判別式△=4a²-4≤0，求得a的范圍．
（3）由題意可得，函數y=x²-2ax+3在（-∞，1]上單調遞減，利用二次函數的性質求得a的范圍．

解答：解：（1）由題意可得 x²-2ax+3＞0的解集為（-∞，-1）∪（3，+∞），
故-1和3是 x²-2ax+3=0的兩個根，故有-1+3=2a，解得a=1．
（2）若函數值域為（-∞，-1]，則函數f(x)=log

1

2

(x2-2ax+3)≤-1，
故有x²-2ax+3≥2恒成立，即x²-2ax+1≥0恒成立，
故有△=4a²-4≤0，解得-1≤a≤1，故a的范圍為[-1，1]．
（3）若f（x）在（-∞，1]上單調遞增，則函數y=x²-2ax+3在（-∞，1]上單調遞減，
故有a≥1，故a的范圍為[1，+∞）．

點評：本題主要考查函數的單調性、定義域和值域，二次函數的性質，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．