Question

已知△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對(duì)的邊，3bcosA=ccosA+acosC．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面積為2

2

，a=3，求b，c的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專(zhuān)題：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，由sinB不為0求出cosA的值即可；
（Ⅱ）由cosA的值求出sinA的值，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把已知面積與sinA的值代入求出bc=6，再利用余弦定理列出關(guān)系式，把a(bǔ)，cosA的值代入，利用完全平方公式變形，把bc的值代入求出b+c=5，聯(lián)立求出b與c的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理化簡(jiǎn)3bcosA=ccosA+acosC化簡(jiǎn)得：3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC，
整理得：3sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=

1

3

；
（Ⅱ）∵cosA=

1

3

，A為三角形內(nèi)角，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

2

3

bc=2

2

，即bc=6①，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-

2

3

bc，即9=（b+c）²-2bc-

2

3

bc，
把bc=6代入得：b+c=5②，
聯(lián)立①②，解得：b=2，c=3或b=3，c=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．