Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=4-a_n-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．
（1）求a_n+1與a_n的關(guān)系；
（2）求通項公式a_n．

Answer 1

分析 （1）由條件求得 S_n+1=4-a_n+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$  ②，和已知等式相減、化簡可得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
（2）由（1）得 2ⁿ•a_n+1-2^n-1•a_n=1，故{2^n-1•a_n} 是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，求出故2^n-1•a_n=n，可得a_n的解析式．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=4-a_n-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$  ①，
∴a₁=4-a₁-2，
∴a₁=1．
又 S_n+1=4-a_n+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$  ②，
②-①可得a_n+1=a_n-a_n+1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
即a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
（2）由（1）得：
∴2ⁿ•a_n+1-2^n-1•a_n=1，
∴2^1-1•a₁=1，
∴{2^n-1•a_n} 是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∴2^n-1•a_n=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
當n=1時，a₁=1成立，
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

點評 本題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性，根據(jù)數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造等差數(shù)列{2^n-1•a_n}，屬于中檔題．