Question

10．已知A、B為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右頂點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左右焦點，雙曲線的漸近線上一點P（x₀，y₀）（x₀＜0，y₀＞0），滿足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，且∠PBF₁=45^°，則雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 P在漸近線y=-$\frac{a}x$上，根據(jù)$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0可知OP=c，從而可求出P點坐標，得出PA⊥AB，故PA=AB，從而得出a，b的關(guān)系，代入離心率公式計算即可．

解答 解：由題意可知P在漸近線y=-$\frac{a}x$上，∴y₀=-$\frac{a}{x}_{0}$，
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，∴PF₁⊥PF₂，
∴OP=$\frac{1}{2}$F₁F₂=c，即x₀²+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}{{x}_{0}}^{2}$=c²，∴x₀²=a²，
∴PA⊥x軸，PA=b，
∵∠PBF₁=45^°，
∴PA=AB，即2a=b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+4{a}^{2}}}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．