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函數(shù)數(shù)學公式（x＞0，a＞0）．
（1）當a=1時，證明：f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若f（x）在（0，2）上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

證明：（1）當a=1時，（x＞0，a＞0），f′（x）=1-=．…（2分）
∵x＞1，∴x2＞1，即 x2-1＞0，∴＞0，即 f′（x）＞0，…（5分）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)． …（6分）
（2）f′（x）=1-=，…（7分）
使f（x）在（0，2）上是減函數(shù)，則當x∈（0，2）時，x2-a≤0恒成立，…（9分）
即a≥x2恒成立，即a≥22=4，∴a≥4． …（12分）
分析：（1）當a=1時，f′（x）=1-=，由x＞1可得f′（x）＞0，從而得f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（2）先求出f′（x）=1-=，由題意可得當x∈（0，2）時，x2-a≤0恒成立，故a≥22=4．
點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下面有四個命題：
（1）函數(shù)y=sin(
2
3
x+
π
2
)是偶函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）=|2cos2x-1|的最小正周期是π；
（3）函數(shù)f(x)=sin(x+
π
4
)在[-
π
2
，
π
2
]上是增函數(shù)；
（4）函數(shù)f（x）=asinx-bcosx的圖象的一條對稱軸為直線x=
π
4
，則a+b=0．
其中正確命題的序號是
（1）（4）
（1）（4）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a
x
+lnx-n(a＞0)，其中n=
∫
π
2
0
(2sin
t
2
cos
t
2
)dt．若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有零點，則a的取值范圍是
（0，1]
（0，1]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知命題P：函數(shù)f(x)=
1
3
(1-x)且|f（a）|＜2，命題Q：集合A={x|x2+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}且A∩B=∅，
（1）分別求命題P、Q為真命題時的實數(shù)a的取值范圍；
（2）當實數(shù)a取何范圍時，命題P、Q中有且僅有一個為真命題；
（3）設P、Q皆為真時a的取值范圍為集合S，T={y|y=x+
m
x
，x∈R，x≠0，m＞0}，若?RT⊆S，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•閔行區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，0＜ω＜2，|φ|＜
π
2
)的一系列對應值如下表：
x -
π
6
π
3
5π
6
4π
3
11π
6
7π
3
17π
6
y -1 1 3 1 -1 1 3
（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）（文）當x∈[0，2π]時，求方程f（x）=2B的解．
（3）（理）若對任意的實數(shù)a，函數(shù)y=f（kx）（k＞0），x∈(a，a+
2π
3
]的圖象與直線y=1有且僅有兩個不同的交點，又當x∈[0，
π
3
]時，方程f（kx）=m恰有兩個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的圖像與y＝g(x)的圖像有且僅有兩個不同的公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列判斷正確的是                                        (　　)

A．當a<0時，x1＋x2<0，y1＋y2>0

B．當a<0時，x1＋x2>0，y1＋y2<0

C．當a>0時，x1＋x2<0，y1＋y2<0

D．當a>0時，x1＋x2>0，y1＋y2>0

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