Question

19．如圖，在平行四邊形ABCD中，$DE=\frac{1}{2}EC$，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，G為EF上的一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AG}=m\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，則實(shí)數(shù)m的值為（　　）

• A． $\frac{7}{9}$
• B． $-\frac{2}{9}$
• C． $-\frac{1}{9}$
• D． $\frac{5}{9}$

Answer 1

分析 由題意可知$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，根據(jù)向量的共線定理$\overrightarrow{AG}$=λ$\overrightarrow{AE}$+（1-λ）$\overrightarrow{AF}$，列方程即可求得m和λ的值．

解答 解：由$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，
由E，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線，
則$\overrightarrow{AG}$=λ$\overrightarrow{AE}$+（1-λ）$\overrightarrow{AF}$，
由$\overrightarrow{AG}=m\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，
∴$\frac{1+λ}{2}$=$\frac{2}{3}$，m=$\frac{3-2λ}{3}$，
解得：λ=$\frac{1}{3}$，m=$\frac{7}{9}$，
∴實(shí)數(shù)m的值為$\frac{7}{9}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的加法，向量的共線定理，考查計(jì)算能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．