Question

【題目】在正方體中，P是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，與垂直，則直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

解法一：根據(jù)異面直線所成角的定義在圖形中找出與所成的角，然后在三角形中利用解三角形的知識(shí)求解；

解法二、解法三：建立空間直角坐標(biāo)系，從而得出與所成角的余弦值的表達(dá)式，求出其余弦值的最大值，即得其正弦值的最小值．

解法一：如圖，連接，易證得直線平面．

因?yàn)?/span>與垂直，且是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)．

又，所以直線與直線所成的角即．

連接，平面，平面，，

在直角三角形中，設(shè)，，

則，因此，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．

解法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，設(shè)，其中，

則，

因?yàn)?/span>與垂直，所以，所以，

所以，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，

此時(shí)取得最小值；

解法三：如圖，連接，易證得直線平面．

因?yàn)?/span>與垂直，且是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，

以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，

于是，設(shè)，

所以，所以，

所以，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，

此時(shí)取得最小值．

故選：B.