Question

【題目】已知函數(shù)，記為的導函數(shù).

（1）當時，若存在正實數(shù)，（）使得，證明：；

（2）若存在大于1的實數(shù)，使得當時都有成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或

【解析】

（1）首先利用導數(shù)得到在上是增函數(shù)，然后由可得，即，然后利用基本不等式將其轉化為，即，再結合的單調性即可得證；

（2）由可得或，利用導數(shù)得出的單調性，然后分或兩種情況討論，每種情況下結合的單調性即可求出的取值范圍.

（1）當時，，

所以，故在上是增函數(shù).

又，所以.

則有，整理得.

因為且，所以，于是.

整理得，即.

又函數(shù)在上單調遞增，所以，即.

（2）當時，等價于，

即，或.

設，則，

所以當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

①考慮：存在大于1的實數(shù)，使得當時，都有成立.

取，則當時，要使得恒成立，只需要滿足，解得.

②考慮：存在大于1的實數(shù)，使得時，都有成立.

若，即，則由在上單調遞減且知，

必存在，使得當時，恒成立，故符合條件.

若，則，結合在上單調遞減知，

當時，故不存在大于1的實數(shù)，使得當時，都有成立.

綜上所述：或.