Question

（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，,  點(diǎn)是的中點(diǎn)，，且交于點(diǎn)．

（Ⅰ）求證:平面；
（Ⅱ）求證：直線平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

解析試題分析：法一：用幾何關(guān)系證明和求值.（Ⅰ）連結(jié)交于，證即可；（Ⅱ）先證平面，再證平面即可；（Ⅲ）由三垂線定理先作出二面角的平面角，根據(jù)數(shù)據(jù)關(guān)系求之即可.
法二：建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量證明求解.
試題解析：方法一：（Ⅰ）證明：連結(jié)交于，連結(jié)．               

是正方形，∴是的中點(diǎn)．
是的中點(diǎn)，∴是△的中位線．
∴．                   2分
又∵平面，平面，    
∴平面．           4分
（Ⅱ）證明：由條件有
∴平面，∴                       6分
又∵是的中點(diǎn)，∴  
∴平面 ∴ 
由已知，∴平面                     8分
（Ⅲ）由(Ⅱ)知面，則直線在面內(nèi)的射影為，
∴為所求的直線與面所成的角．             10分
又，∴在中 ∴
又
由可得∴．∴
12分
∴直線與平面所成角的余弦值為．                           13分
考點(diǎn)：空間直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定.