Question

已知函數(shù)（）.

（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，且關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足，（），求證：.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）答案詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增等價(jià)于在時(shí)恒成立，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求確定函數(shù)的最值問題；（2）將解析式帶入得，

，方程在上恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，等價(jià)于的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的大致圖象，從而得解；（3）本題難度大，很難找到突破口，不妨從結(jié)論入手，考慮等號(hào)情形，容易聯(lián)想到等比數(shù)列，由結(jié)論，

則，故，利用累積法可證明．

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030406002689203832/SYS201503040600310485133104_DA/SYS201503040600310485133104_DA.017.png">，

，依題意在時(shí)恒成立，

則在時(shí)恒成立，即，

當(dāng)時(shí)，取最小值-1，所以的取值范圍是 4分

（2），由得在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，

設(shè)

，時(shí)，，時(shí)，

，，

，得

則 8分

（3）易證當(dāng)且時(shí)，.

由已知條件，

故所以當(dāng)時(shí)，，相乘得又故，即 12分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值；3、放縮法.