Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，短軸的一個端點為B（0，4），離心率．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），在橢圓上求一點Q使△OPQ的面積最大．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可知：橢圓C的焦點在x軸上，b=4，可設(shè)橢圓的方程為，
又離心率，及a²=4²+c²，解得，
∴橢圓的方程為．
（Ⅱ）∵，∴可設(shè)與直線OP平行且與橢圓相切的直線方程為y=x+t．
聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程41x²+50tx+25t²-400=0，（*）
∴△=0，即2500t²-4×41×（25t²-400）=0，化為 t²=41，解得．
∴切線方程為．
把代入（*）解得x=，代入y=x+t求得Q，或．
上面這兩個點的坐標(biāo)都滿足是得△OPQ的面積最大．
分析：（Ⅰ）由題意可知：橢圓C的焦點在x軸上，b=4，據(jù)此可設(shè)出橢圓的此方程，再根據(jù)參數(shù)a、b、c的關(guān)系及其離心率即可得出；
（Ⅱ）求出與直線OP平行且與橢圓相切的直線方程及其切點即可．
點評：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切問題的解法是解題的關(guān)鍵．