Question

對于函數(shù)，如果存在實數(shù)使得，那么稱為的生成函數(shù)．

       （1）下面給出兩組函數(shù)，是否分別為的生成函數(shù)？并說明理由；

第一組：；

第二組：；

       （2）設(shè)，生成函數(shù)．若不等式

在上有解，求實數(shù)的取值范圍；

       （3）設(shè)，取，生成函數(shù)使恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）① 設(shè)，即，取，所以是的生成函數(shù)．……………………2分

② 設(shè)，即，

則，該方程組無解．所以不是的生成函數(shù)．………4分

（2）…………………………5分

若不等式在上有解，

，即……7分

設(shè)，則，，……9分

，故，．………………………………………………………10分

（3）（解法一）由題意，對一切恒成立。

即對一切恒成立。

當(dāng)時，恒成立，此時；

當(dāng)時，恒成立，可得，故；

又，綜上可知， …………………18分

（解法二）由題意，得

 若，則在上遞減，在上遞增，

則，所以，得  

 若，則在上遞增，則，

所以，得．

 若，則在上遞減，則，

故，無解 

綜上可知，………………………………………………………18分