Question

已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）

（Ⅰ）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的極值；

（Ⅲ）當時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）（Ⅱ）當時，函數(shù)無極小值；

當，在處取得極小值，無極大值（Ⅲ）的最大值為

【解析】（Ⅰ）由，得．

又曲線在點處的切線平行于軸，

得，即，解得．

（Ⅱ），

①當時，，為上的增函數(shù)，所以函數(shù)無極值．

②當時，令，得，．

，；，．

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故在處取得極小值，且極小值為，無極大值．

綜上，當時，函數(shù)無極小值；

當，在處取得極小值，無極大值．

（Ⅲ）當時，

令，

則直線：與曲線沒有公共點，

等價于方程在上沒有實數(shù)解．

假設(shè)，此時，，

又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，由零點存在定理，可知在上至少有一解，與“方程在上沒有實數(shù)解”矛盾，故．

又時，，知方程在上沒有實數(shù)解．

所以的最大值為．

解法二：

（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）當時，．

直線：與曲線沒有公共點，

等價于關(guān)于的方程在上沒有實數(shù)解，即關(guān)于的方程：

              （*）

在上沒有實數(shù)解．

①當時，方程（*）可化為，在上沒有實數(shù)解．

②當時，方程（*）化為．

令，則有．

令，得，

當變化時，的變化情況如下表：

當時，，同時當趨于時，趨于，

從而的取值范圍為．

所以當時，方程（*）無實數(shù)解，

解得的取值范圍是．

綜上，得的最大值為．

此題的一二問考查的是最基本的函數(shù)切線問題及對極值含參情況的討論，所以導數(shù)公式必需牢記，對于參數(shù)的討論找到一個合理的分類標準做到不重不漏即可，可這往往又是學生最容易出現(xiàn)問題的地方.而第三問對于曲線是否無交點要懂得轉(zhuǎn)化成函數(shù)零點或方程根的個數(shù)問題處理，這也是常規(guī)處理含參就比較麻煩，平時要多加練習.

【考點定位】 本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)，兩數(shù)的單調(diào)性、極值、零點等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解 能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬綜合要求比較高的難題.