Question

8．已知圓的方程為x²+y²=8，圓內(nèi)有一點P（-1，2），AB為過點P且傾斜角為α的弦．
（1）當(dāng)α=135°時，求AB的長
（2）求過點P的弦的中點的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）過點O做OG⊥AB于G，連接OA，依題意可知直線AB的斜率，求得AB的方程，利用點到直線的距離求得OG即圓的半徑，進(jìn)而求得OA的長，則OB可求得．
（2）設(shè)出AB的中點的坐標(biāo)，依據(jù)題意聯(lián)立方程組，消去k求得x和y的關(guān)系式，即P的軌跡方程．

解答 解：（1）過點O做OG⊥AB于G，連接OA，
當(dāng)α=135°時，直線AB的斜率為-1，
故直線AB的方程x+y-1=0，
∴|OG|=$\frac{|0+0-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵r=2$\sqrt{2}$，
∴|AG|=$\sqrt{8-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{2}$，
∴|AB|=2|AG|=$\sqrt{30}$；…（6分）
（2）設(shè)AB的中點為M（x，y），AB的斜率為k，OM⊥AB，
則$\left\{\begin{array}{l}{y-2=k（x+1）}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，
消去k，得x²+y²-2y+x=0，
當(dāng)AB的斜率k不存在時也成立，
故過點P的弦的中點的軌跡方程為x²+y²-2y+x=0．…（12分）

點評 本題主要考查了直線與圓的方程的綜合運(yùn)用．解題的過程通過代數(shù)的運(yùn)算解決代數(shù)問題，最后翻譯成幾何結(jié)論．