Question

18．游客從某旅游景區(qū)的景點A處至景點C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，然后從B沿直線步行到C．現有甲、乙兩位游客從A處同時出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的$\frac{11}{9}$倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達C處．經測量，AB=1040m，BC=500m，則sin∠BAC等于$\frac{5}{13}$．

Answer 1

分析 設乙的速度為x（m/s），則甲的速度為$\frac{11}{9}$x（m/s），利用兩人達到的時間相等列出表達式、計算可知AC=1260m，進而利用余弦定理及平方關系計算即得結論．

解答 解：依題意，設乙的速度為x（m/s），
則甲的速度為$\frac{11}{9}$x（m/s），
∵AB=1040m，BC=500m，
∴$\frac{AC}{x}$=$\frac{1040+500}{\frac{11}{9}x}$，
解得：AC=1260m，
∴△ABC為銳角三角形，
由余弦定理可知cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$
=$\frac{104{0}^{2}+126{0}^{2}-50{0}^{2}}{2×1040×1260}$=$\frac{84}{91}$，
∴sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}$
=$\sqrt{1-（\frac{84}{91}）^{2}}$=$\frac{35}{91}$=$\frac{5}{13}$．
故答案為：$\frac{5}{13}$．

點評 本題考查三角函數模型的選擇與應用，涉及余弦定理、平方關系等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．