Question

【題目】已知曲線.

(1)若曲線C在點(diǎn)處的切線為，求實(shí)數(shù)和的值；

(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)，曲線總在直線:的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)，，(2)．

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，所以.因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>過(guò)點(diǎn)，所以，(2)由題意得：不等式恒成立，恒成立問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題.一是分類討論求函數(shù)最小值，二是變量分離為恒成立，求函數(shù)最小值.兩種方法都是，然后對(duì)實(shí)數(shù)a進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí),由得，不論還是，都是先減后增，即的最小值為，所以.

試題解析：解

（1）， 2分

因?yàn)榍�線C在點(diǎn)（0，1）處的切線為L：，

所以且. 4分

解得， -5分

（2）法1：

對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，曲線C總在直線的的上方，等價(jià)于

x,，都有，

即x,R，恒成立， 6分

令， 7分

①若a=0，則，

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是； 8分

②若,，

由得， 9分

的情況如下：

		0
		0	+
		極小值

11分

所以的最小值為， 12分

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是；

綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍是． 13分

法2：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，曲線C總在直線的的上方，等價(jià)于

x,，都有，即

x,R，恒成立， 6分

令，則等價(jià)于，恒成立，

令，則， 7分

由得， 9分

的情況如下：

		0
		0	+
		極小值

-11分

所以的最小值為， 12分

實(shí)數(shù)b的取值范圍是． 13分