Question

【題目】已知函數(shù)，，

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）欲求曲線在點(diǎn)處的切線方程，只需求出斜率和和的值，即可利用直線的點(diǎn)斜式方程求解切線的方程；

（2）求出，通過討論的取值范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可，可分兩種情況，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得出函數(shù)的極值.

試題解析：

（1）時(shí)，，

所以，

因此曲線在點(diǎn)處的切線方程是

即

（2）

①當(dāng)時(shí)，恒成立，

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增

所以當(dāng)時(shí)，取極小值

②當(dāng)時(shí)，由得或

（�。┊�(dāng)，即時(shí)

由得或

由得

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故時(shí)，取極大值，時(shí)，取極小值

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，恒成立

此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值

（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)

由得或

由得

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故時(shí)，取極大值

時(shí)，取極小值.