Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，SC⊥平面ABC，M、N分別是SB和SC的中點，設MN=AC=1，∠ACB=90°，直線AM與直線SC所成的角為60°
（Ⅰ）求證：平面AMN⊥平面SAC；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求AN和CM所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間角

分析：（I）根據(jù)線面垂直的性質可得SC⊥BC，結合∠ACB=90°及線面垂直的判定定理可得BC⊥平面SAC，由三角形中位線定理可得MN∥BC，結合線面垂直的第二判定定理可得MN⊥平面SAC，最后由面面垂直的判定定理得到平面AMN⊥平面SAC．
（Ⅱ）取BC的中點D，連MD，在平面ABC內作DE⊥AB于E，連ME，可證得∠MED即為二面角M-AB-C的平面角，解三角形MED可得二面角M-AB-C的平面角的正切值；
（Ⅲ）作作AF

∥

.

CD，則AF

∥

.

MN，可證得∠CMF或其補角即為AN與CM所成的角，解三角形CMF可得AN和CM所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，
又∵∠ACB=90°∴AC⊥BC，
∵AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，又∵M，N是SC、SB的中點
∴MN∥BC，∴MN⊥面SAC，
∵MN?平面AMN，∴面AMNAMN⊥面SAC．
（Ⅱ）解：取BC的中點D，連MD，
在平面ABC內作DE⊥AB于E，連ME，
由M，D分別為SB，BC的中點，
可得MD∥SC，MD=

1

2

SC
由SC⊥平面ABC，可得MD⊥平面ABC，
則∠MED即為二面角M-AB-C的平面角，
∵直線AM與直線SC所成的角60°，MD∥SC，
∴∠AMD=60°，
∵MN=AC=CD=BD=1，
∴AD=

2

，MD=

6

3

，DE=

5

5

，ME=

195

15

，
∴cos∠MED=

DE

ME

=

5 5

195 15

=

39

13

．
（Ⅲ）解：作AF

∥

.

CD，則AF

∥

.

MN，
即四邊形AFMN為平行四邊形，
則AN∥FM，
則∠CMF或其補角即為AN與CM所成的角，
∵CM=MF=

15

3

，CF=

2

，
由余弦定理得cos∠CMF=

2

5

，
∴AN和CM所成角的余弦值為

2

5

．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，二面角的平面角及求法，其中構造出空間線面夾角，異面直線夾角的平面角，將空間角問題轉化為解三角形問題是解答的關鍵．