Question

2．已知函數(shù)f（x）=4^x-a•2^x+1（-1≤x≤2）的最小值為g（a）．
（1）求g（2）的值；
（2）求g（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由a=2，求得f（t）=（t-2）²-4，即可得到最小值g（2）；
（2）運(yùn)用換元法和二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，對(duì)a討論，即可得到最小值．

解答 解：（1）a=2時(shí)，f（x）=4^x-4•2^x（-1≤x≤2）
=（2^x-2）²-4，
令t=2^x（$\frac{1}{2}$≤t≤4），
即有f（t）=（t-2）²-4，
由于2∈[$\frac{1}{2}$，4]，可得最小值g（2）=-4；
（2）函數(shù)f（x）=4^x-a•2^x+1（-1≤x≤2），
令t=2^x（$\frac{1}{2}$≤t≤4），
則f（t）=t²-2at=（t-a）²-a²，
當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，區(qū)間[$\frac{1}{2}$，4]為增區(qū)間，即有t=$\frac{1}{2}$取得最小值$\frac{1}{4}$-a；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜4時(shí)，當(dāng)t=a時(shí)，取得最小值-a²；
當(dāng)a≥4時(shí)，區(qū)間[$\frac{1}{2}$，4]為減區(qū)間，即有t=4取得最小值16-8a．
即有g(shù)（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}-a，a≤\frac{1}{2}}\\{-{a}^{2}，\frac{1}{2}＜a＜4}\\{16-8a，a≥4}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．